פונקציה קווית היא אחד הנושאים המרכזיים במתמטיקה לכיתה ח', והיא מהווה בסיס חשוב להמשך הלימודים באלגברה ובפונקציות. מדובר בקשר בין שני משתנים שמתואר באמצעות ישר במערכת צירים, ולכן נקראת גם משוואת הישר. הבנה טובה של הנושא הזה תעזור לתלמידים לא רק להצליח במבחן פונקציה קווית כיתה ח', אלא גם להתקדם לנושאים מתקדמים יותר בהמשך, כולל לימוד ברמה של 4 ו-5 יחידות.
בעמוד זה נלמד בצורה ברורה ופשוטה את כל מה שצריך לדעת על פונקציה קווית: מהי משוואת הישר, איך מוצאים שיפוע, כיצד מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים, חישוב שטחים בפונקציה קווית, ואיך פותרים תרגילים שונים. בנוסף, תמצאו כאן דוגמאות ותרגול בדפי עבודה במתמטיקה לכיתה ח', שיסייעו בהבנה ובהכנה למבחן.
משוואת ישר היא משוואה המתארת את שיעור ה- y של ישר כפונקציה של שיעור ה- x שלה.
היא תהיה כתובה בצורה הבאה:
y = mx + b
כאשר m הוא השיפוע של הפונקציה ו- b הוא מספר חופשי שלא תלוי ב- x.
לדוגמה:
y = 3x + 2
היא משוואה של ישר ששיפועו 3 והמספר החופשי הוא 2
כיצד נמצא משוואת ישר?
על מנת למצוא משוואת ישר, אנו זקוקים לנקודה מסוימת (x1, y1) ושיפוע m.
את השיפוע והנקודה נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר :
y-y1=m(x-x1)
דוגמה:
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,3) ושיפועו 3.
פתרון:
הנתונים הם:
שיפוע: m=3
נקודה: (3,3)=(x1,y1)
נציב בנוסחה:
y-3=3(x-3)
y-3=3x-9 /+3
y=3x-6
משוואת הישר היא y=3x-6
מהו שיפוע?
השיפוע הינו השינוי בערך ה-y כאשר ערך ה-x גדל ב-1. בקו ישר, השיפוע הינו קבוע.
לדוגמה:
כיצד נמצא שיפוע?
על מנת למצוא שיפוע ישר, אנו זקוקים ל-2 נקודות על הישר: (x1, y1) ו-(x2, y2)
את שתי הנקודות נציג בנוסחה למציאת שיפור ישר:
דוגמה:
מצאו את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (5-,6) ו- (2,3)
פתרון:
נציב בנוסחה למציאת שיפוע ישר:
שיפוע הישר הוא 2-
מהן נקודות חיתוך עם הצירים?
נקודות חיתוך של ישר עם הצירים הן הנקודות שבהן הישר חוצה את ציר ה- x ואת ציר ה- y.
כיצד נמצא את החיתוך עם ציר x?
נציב במשוואת הישר 0 = y ונמצא את ערך ה- x.
כיצד נמצא את החיתוך עם ציר y?
נציב במשוואת הישר 0 = x ונמצא את ערך ה- y
דוגמה:
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים של ישר שעובר דרך הנקודה ( 2 , 2 ) ושיפועו ( 2– ).
פתרון:
ראשית עלינו למצוא את משוואת הישר – ניעזר בנוסחה למציאת משוואת ישר :
לאחר שמצאנו את משוואת הישר, נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים :
חיתוך עם ציר x – נציב 0 = y :
נקודת החיתוך עם ציר ה- x היא ( 0 , 3 ).
חיתוך עם ציר y – נציב 0 = x :
נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא ( 6 , 0 ).
הצטרפו לפורטל התלמידים של מטיק וקבלו גישה בלעדית להמון חומר בנושא ולכל המבחנים ודפי העבודה לכיתה ח' שנכתבו על ידי מיטב המורים של מטיק!
אל תחכו – ההצלחה מתחילה כאן!
מהי נקודת החיתוך בין ישרים?
נקודת החיתוך בין ישרים ( או נקודת המפגש) היא נקודה המשותפת לשני ישרים.
כיצד נמצא את נקודת החיתוך?
על מנת למצוא את נקודת החיתוך של ישרים, נשווה בין שתי משוואות הישר ונמצא את ערך ה- x של
הנקודה.
לאחר מכן נציב את ערך ה- x שמצאנו באחת המשוואות (ניתן לבחור בכל אחת מהמשוואות), ונמצא את ערך ה- y.
דוגמה:
מצאו את נקודת החיתוך בין הישר y=2x+7 לישר y=-2x+15
פתרון:
ראשית, נשווה בין שתי משוואות הישרים על מנת למצוא את ערך ה- x המשותף:
כעת נציב את ערך ה- x שמצאנו באחת הפונקציות :
נקודת החיתוך בין הישרים היא (11 , 2).
מהם תחומי חיוביות ושליליות?
תחומי חיוביות ושליליות מתייחסים לערך ה- y של משוואת ישר.
תחומי חיוביות הם התחומים שבהם ערך ה- y של ישר הוא חיובי, תחומי שליליות הם התחומים שבהם
ערך ה- y של ישר הוא שלילי.
כיצד מוצאים תחומי חיוביות ושליליות?
כדי למצוא תחומי חיוביות ושליליות, נבנה ונפתור 2 תרגילי אי-שוויון בעזרת משוואת הישר – פעם אחת
נבדוק מתי משוואת הישר קטנה מ-0 ופעם אחת נבדוק מתי משוואת הישר גדולה מ-0.
דוגמה:
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הישר y=3x+9
פתרון:
כדי למצוא את תחומי החיוביות, נבדוק מתי משוואת הישר גדולה מ-0:
הישר חיובי בתחום (3-) < x
כדי למצוא את תחומי השליליות, נבדוק מתי משוואת הישר קטנה מ-0:
הישר שלילי בתחום (3-) > x
הצגת מצולעים במערכת צירים
כאשר מציגים פונקציות קוויות במערכת צירים, יכולים להיווצר מצולעים שונים בין ישר לצירים או בין שני
ישרים.
כיצד מחשבים שטחים בעזרת פונקציה קווית?
כדי לחשב את השטחים של המצולעים, נעבוד בשני שלבים:
דוגמה:
נתון הישר y=-x+1, אשר יוצר עם הצירים את המשולש AOB.
חשבו את שטח המשולש
פתרון:
נשים לב שהמשולש שנוצר הוא משולש ישר זווית (מכיוון שציר x וציר y מאונכים אחד לשני).
כדי לחשב
את השטח שלו, עלינו למצוא את אורכי הצלעות AO ו- BO ולהציב אותם בנוסחה לחישוב שטח משולש:
כדי לחשב את אורכי הצלעות, עלינו לגלות את ערכי הנקודות A ו-B.
נשים לב, שנקודה A היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר y ונקודה B היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר x !
נציב במשוואת הישר 0 = x ונמצא את נקודה A :
נקודה A היא (1 , 0 ). כעת נוכל לחשב את אורך הצלע AO :
אורך הצלע AO הוא 1 יח"א.
נציב במשוואת הישר 0 = y ונמצא את נקודה B :
נקודה B היא (0 , 1). כעת נוכל לחשב את אורך הצלע BO :
אורך הצלע BO הוא 1 יח"א.
כעת נוכל לחשב את שטח המשולש :
בואו נפתור ביחד תרגיל שמסכם את כל החומר שלמדנו!
נסו לפתור את התרגילים הבאים בפונקציה קווית לכיתה ח'!
תרגיל 1
א. מצאו את שיפוע הישר העובר בנקודות (5– , 8) ו- ( 2 , 10 ).
ב. מצאו את משוואת הישר
א. נציב את הנקודות בנוסחה למציאת שיפוע ישר :
שיפוע הישר הוא 3.5
ב. נבחר את אחת הנקודות ונציב אותה ואת השיפוע בנוסחה למציאת משוואת ישר:
תרגיל 2
א. מצאו את משוואת הישר של ישר העובר דרך הנקודות (3 , 7) ו- (4 , 5).
ב. מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הצירים.
א. נחשב את שיפוע הישר ע"י הצבת 2 הנקודות הנתונות בנוסחה למציאת שיפוע ישר:
נמצא את משוואת הישר בעזרת הנוסחה למציאת משוואת ישר :
ב. חיתוך עם ציר x – נציב 0 = y:
נקודת החיתוך של הישר עם ציר x היא (0 , 13).
חיתוך עם ציר y – נציב 0 = x :
נקודת החיתוך של הישר עם ציר y היא (6.5 , 0).
תרגיל 3
א. מצאו את משוואת הישר של ישר העובר בנקודה (2 , 1) ושיפועו 1– .
ב. מצאו את נקודת החיתוך בין הישר מסעיף א' לבין הישר y=x+5
א. נציב את הנקודה והשיפוע בנוסחה למציאת משוואת ישר:
ב. נשווה בין המשוואות של שני הישרים כדי למצוא את ערך ה- x של נקודת המפגש:
נציב את ה- x שמצאנו במשוואה של אחד הישרים :
נקודת החיתוך בין הישרים היא (4, 1-).
תרגיל 4
א. מצאו את משוואת הישר של ישר ששיפועו 2.5 ועובר בנקודה ( 5.3 , 6.4– ).
ב. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הישר.
א. נציב את הנקודה והשיפוע בנוסחה למציאת משוואת ישר:
ב. כדי למצוא את תחומי החיוביות, נבדוק מתי משוואת הישר גדולה מ-0:
תחומי החיוביות של הישר הם ( 8.52– ) < x
כדי למצוא את תחומי השליליות, נבדוק מתי משוואת הישר קטנה מ-0:
תחומי החיוביות של הישר הם ( 8.52– ) > x
תרגיל 5
א. ראשית, נתאים את משוואות הישרים לישרים שאנו רואים במערכת הצירים –
הישר y1 מתאים לישר היורד מכיוון ששיפועו שלילי,
הישר y2 מתאים לישר העולה מכיוון ששיפועו חיובי.
כעת אנו יכולים לקבוע כי הנקודה A היא נק' החיתוך של y1 עם ציר ה- x והנקודה B היא נק' החיתוך
של הישר y2 עם ציר ה- x. הנק' B היא נק' החיתוך של שני הישרים עם ציר ה- y.
נציב 0 = y במשוואת הישר y1 כדי לחשב את הנקודה A:
הנק' A היא ( 0 , 4.5– ).
נציב 0 = y במשוואת הישר y2 כדי לחשב את הנקודה C:
הנק' C היא (0 , 2.25 ).
כעת נציב 0 = x באחת המשוואות כדי לחשב את הנקודה B:
הנק' B היא ( 9– , 0 ).
ב. כדי לחשב את שטח המשולש, עלינו למצוא את אורך בסיס המשולש ואת אורך הגובה לבסיס.
נסמן את ראשית הצירים ב- O ונחשב את אורכי הצלעות בעזרת הנקודות שמצאנו בסעיף א' :
כעת נציב את הצלעות שמצאנו בנוסחה לחישוב שטח משולש:
שטח המשולש הוא 30.375 יח"ש
רוצים להמשיך לתרגל?
הכנו לכם דף להורדה בחינם של משרד החינוך וחבילות תרגול מקיפות לרכישה שכתבו צוות המורים של מטיק.
מחפשים את התרגול הכי משתלם?
מצטרפים לפורטל לכיתה ח' ומקבלים את כל חומרי הלימוד במתמטיקה, אנגלית ומדעים לכיתה ח'.
מוזמנים לבקר בעמוד מתמטיקה לכיתה ח' – בו ניתן לצפות במגוון דפי עבודה ומבחנים במתמטיקה לכיתה ח'
